Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x|x-a|，a∈R．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值是-1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x≥2時，當(dāng)x≤2時，去掉絕對值，配方，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）去絕對值，寫出分段函數(shù)并配方，再討論a的范圍，得到最小值，解方程，即可判斷．

解答： 解：（1）當(dāng)x≥2時，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，在（2，+∞）上遞減，
則f（x）的減區(qū)間為（2，+∞），無增區(qū)間；
當(dāng)x≤2時，f(x)=3x2-4x=3(x-

2

3

)2-

4

3

，在(-∞，

2

3

)上遞減，在(

2

3

，2)上遞增，
則f（x）的增區(qū)間為(

2

3

，2)，減區(qū)間為(-∞，

2

3

)；
（2）f(x)=

-x2+2axx≥a 3x2-2axx≤a

=

-(x-a)2+a2x≥a 3(x- a 3 )2- a2 3 x≤a

，
當(dāng)a≥2時，-

a2

3

=-1，a=

3

，不成立，
當(dāng)0≤a＜2時，-

a2

3

=-1，a=

3

，4a-4=-1，解得a=

3

4

，
則a=

3

，a=

3

4

，
當(dāng)a＜0時，不成立．
則a=

3

或

3

4

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和運用，考查二次函數(shù)的最值，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．