Question

【題目】已知函數 ．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）對任意 ，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：由已知得，f（x）的定義域為（0，+∞）．
（Ⅰ） ，．
令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．
所以函數f（x）的單調減區間是（0，1），單調增區間是（1，+∞），
（Ⅱ）由xln（kx）﹣kx+1≤mx，
得 ，即m≥f（x）max ．
由（Ⅰ）知，
（i）當k≥2時，f（x）在 上單調遞減，所以 ，所以m≥0；．
（ii）當0＜k≤1時，f（x）在 上單調遞增，所以 ，
所以 ；
（iii）當1＜k＜2時，f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，
所以 ．
又 ， ，
①若 ，即 ，所以1＜k＜2ln2，此時 ，
所以 ．
②若 ，即 ，所以2ln2≤k＜2，此時f（x）max=0，所以m≥0
綜上所述，當k≥2ln2時，m≥0；
當0＜k＜2ln2時， ．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間；（Ⅱ）問題轉化為m≥f（x）max ， 通過討論k的范圍，求出f（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．