Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+ ）an+ ．
（1）設(shè)bn= ，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得b1=a1=1，且 = + ，

即bn+1=bn+ ，從而b2=b1+ ，

b3=b2+ ，

bn=bn﹣1+ （n≥2）．

于是bn=b1+ + +…+ =2﹣ （n≥2）．

又b1=1，

故所求的通項(xiàng)公式為bn=2﹣

（2）解：由（1）知an=2n﹣ ，

故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），

設(shè)Tn=1+ + + +…+ ，①

Tn= + + +…+ + ，②

①﹣②得，

Tn=1+ + + +…+ ﹣

= ﹣ =2﹣ ﹣ ，

∴Tn=4﹣ ．

∴Sn=n（n+1）+ ﹣4

【解析】（1）由已知得 = + ，即bn+1=bn+ ，由此能夠推導(dǎo)出所求的通項(xiàng)公式．（2）由題設(shè)知an=2n﹣ ，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），設(shè)Tn=1+ + + +…+ ，由錯(cuò)位相減法能求出Tn=4﹣ ．從而導(dǎo)出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．