【題目】已知橢圓
的長軸為
，且點
在橢圓
上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點
，若點
為橢圓上一動點（不同于點
、
）直線
.設直線
的方程為
，直線與直線
、
、
分別交于
、
、
三點，試問：是否存在實數
，使得
恒成立？若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
（1）根據長軸長和橢圓上的點的坐標求解標準方程；
（2）求出E，M，F的坐標，根據
建立等量關系分析定值.
（1）因為長軸為
，故
將
代入方程
所以橢圓
的標準方程為
（2）①當點
為
時，
：
，
：
，
：
分別與直線
求交點橫坐標
，
，
，若滿足條件，則
解得；同理，若點為
時，也解得
②當點橫坐標不為±2，直線：
與
聯立，解得
直線：
與聯立，解得
直線：
與聯立，解得
（注：因為直線與直線、、都相交，所以以上分母不為0）
若有，則
（因為點
、
、
在直線上，所以當時，必有
，滿足）
故只需驗證
，（*）
（若恒成立，取特殊點
代入也滿足，得
，若沒有①，此時特殊化得
扣2分）
將代入（*）式驗證是否恒成立即可
又因為
代入上式，得
，
即存在，使得（*）式恒成立.
輕松課堂單元期中期末專題沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解高三學生的“理科綜合”成績是否與性別有關，某校課外學習興趣小組在本地區高三年級理科班中隨機抽取男、女學生各100名，然后對這200名學生在一次聯合模擬考試中的“理科綜合”成績進行統計規定：分數不小于240分為“優秀”小于240分為“非優秀”．
（1）根據題意，填寫下面的2×2列聯表，并根據列聯表判斷是否有90%以上的把握認為“理科綜合”成績是否優秀與性別有關．
性別 | 優秀 | 非優秀 | 總計 |
男生 | 35 | ||
女生 | 75 | ||
總計 |
（2）用分層抽樣的方法從成績優秀的學生中隨機抽取12名學生，然后再從這12名學生中抽取3名參加某高校舉辦的自主招生考試，設抽到的3名學生中女生的人數為X，求X的分布列及數學期望．
附：
，其中
．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，離心率為
的橢圓
的左頂點為
，過原點
的直線（與坐標軸不重合）與橢圓
交于
兩點，直線
分別與
軸交于
， 
兩點.若直線
斜率為 
時， 
.
(1)求橢圓
的標準方程；
(2)試問以
為直徑的圓是否經過定點（與直線
的斜率無關）？請證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足
（2，2
）
（1）求拋物線Γ的方程；
（2）已知經過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】等差數列{an}的前n項和為Sn，且
=9，S6=60．
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）若數列{bn}滿足bn+1﹣bn=
（n∈N+）且b1=3，求數列
的前n項和Tn．
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