Question

【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）記兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意，方程在有兩個(gè)不同根,即方程有兩個(gè)不同根；解法1：轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，解法2：轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；解法3；求出，討論的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：由（Ⅰ）知：是的兩個(gè)根， ，然后利用分析法要證，只需證:，從而可得，進(jìn)而可得，令，換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的最值即可證出.

（Ⅰ）由題意，方程在有兩個(gè)不同根,即方程有兩個(gè)不同根；

解法1：轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

令,

故在處的切線方程為：

代入點(diǎn)有：

可得：

解法2：轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

，故時(shí)，時(shí)，

故在上單增，在上單減，

又，故時(shí)， 時(shí)，

可得：…

解法3：

①時(shí)， 故在上單增，

故在最多只有一個(gè)實(shí)根，不合題意；

②時(shí)，令 令

故在上單增，在上單減；

故

當(dāng)時(shí)，

故在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是的兩個(gè)根，

故

要證：，只需證：，

即證：

即證：，即證：

又故上式為：

令

故在上單增，故 故式成立，即證.