Question

已知函數(shù)f（3^x-2）=x-1（x∈[0，2]），將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位可得函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=[g（x）]²+g（x²），試求函數(shù)y=h（x）的最值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)t=3^x-2（t∈[-1，7]，求出x=log₃（t+2），然后求解f（x）=log₃（x+2）-1（x∈[-1，7]），
利用已知條件求出g（x）的解析式即可．
（2）化簡h（x）=[g（x）]²+g（x²）的表達式，求出函數(shù)的定義域，利用二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值求解即可．

解答： 解 （1）設(shè)t=3^x-2（t∈[-1，7]，則x=log₃（t+2），
于是有f（t）=log₃（t+2）-1，t∈[-1，7]
∴f（x）=log₃（x+2）-1（x∈[-1，7]），…（4分）
根據(jù)題意得g（x）=f（x-2）+3=log₃x+2（x∈[1，9]）…（6分）
（2）∵g（x）=log₃x+2，x∈[1，9]
∴h(x)=[g(x)]2+g(x2)=(log3x+2)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3…（8分）
∵函數(shù)f（x）的定義域為[1，9]，
∴要使函數(shù)h（x）=[g（x）]²+g（x²）有意義，必須

1≤x2≤9 1≤x≤9

∴1≤x≤3，…（10分）
∴0≤lo

g

x 3

≤1，（8分）
∴6≤(log3x+3)2-3≤13…（12分）
∴函數(shù)y=h（x）的最大值為13，最小值為6．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的定義域以及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．