Question

函數f（x）=

ax2+(2a-1)x+ 1 4

的定義域為R，且記f（x）的最小值為g（a），則當a變化時，函數g（a）的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數的值域,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：通過配方法將函數的被開方數寫成二次函數的頂點式，求出y的最小值為g（a），借助a的范圍求出g（a）的值域．

解答： 解：依題意，當x∈R時，ax²+（2a-1）x+

1

4

恒成立．當a=0時，x∉R，
∴a≠0，
∴

a＞0 (2a-1)2-4a× 1 4 ≤0

解得，

1

4

≤a≤1，
∴f（x）=

ax2+(2a-1)x+ 1 4

=

a(x-1+ 1 2a )2+ 1 4 - (2a-1)2 4a

∴y_min=

1 4 - (2a-1)2 4a

，
因此，g（a）=

1 4 - (2a-1)2 4a

=

5 4 -(4a+ 1 4a )

≤

5 4 +2 4a• 1 4a

=

13

2

，當且僅當a=

1

4

取等號，
故函數g（a）的值域為[0，

13

2

]
故答案為：[0，

13

2

]

點評：本題考查偶次根式的定義域的求解，考查不等式恒成立問題的解決辦法，關鍵要進行等價轉化，利用基本不等式求值域是本題的另一個命題點．