Question

兩個單位向量

a

，

b

的夾角為θ，且θ∈（

π

6

，

π

3

），則

a

+

b

與λ

b

（λ＞0）夾角的范圍是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用數(shù)量積運算和向量的夾角公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵兩個單位向量

a

，

b

的夾角為θ，且θ∈（

π

6

，

π

3

），
∴cosθ=

a • b

| a | | b |

=

a

•

b

∈(

1

2

，

3

2

)，|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2+2 a • b

．
設(shè)

a

+

b

與λ

b

（λ＞0）夾角為α，

a

•

b

=t．
則cosα=

( a + b )•λ b

| a + b | |λ b |

=

λ a • b +λ b 2

2+2 a • b •|λ|

=

λ a • b +λ

2+2 a • b •λ

=

t+1

2+2t

=

t+1

2

，
∵t∈(

1

2

，

3

2

)，∴

t+1

2

∈(

3

2

，

3 +2

2

)，即

t+1

2

∈(

3

2

，

6 + 2

4

)．
∴

a

+

b

與λ

b

（λ＞0）夾角的范圍是(

3

2

，

6 + 2

4

)．
故答案為：(

3

2

，

6 + 2

4

)．

點評：本題考查了數(shù)量積運算和向量的夾角公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．