Question

已知：函數f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，設P：當0＜x＜

1

2

時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-ax是單調函數．如果滿足P成立的a的集合記為A，滿足Q成立的a的集合記為B，求A∩C_RB（R為全集）．

Answer 1

分析：（1）對抽象函數滿足的函數值關系的理解和把握是解決該問題的關鍵，對自變量適當的賦值可以解決該問題，結合已知條件可以賦x=-1，y=1求出f（0）；
（2）在（1）基礎上賦值y=0可以實現求解f（x）的解析式的問題；
（3）利用（2）中求得的函數的解析式，結合恒成立問題的求解策略，即轉化為相應的二次函數最值問題求出集合A，利用二次函數的單調性求解策略求出集合B．

解答：解：（1）令x=-1，y=1，則由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2
（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x²+x-2+3＜2x+a
也就是x²-x+1＜a．由于當0＜x＜

1

2

時，

3

4

＜x2-x+1＜1，又x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＜a恒成立，
故A={a|a≥1}，g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2 對稱軸x=

a-1

2

，
又g（x）在[-2，2]上是單調函數，故有

a-1

2

≤-2，或

a-1

2

≥2，
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，C_RB={a|-3＜a＜5}
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

點評：本題考查抽象函數解析式的求解，考查賦值法求函數值、函數解析式的思想，考查恒成立問題的解決方法、考查二次函數單調性的影響因素，考查學生的轉化與化歸能力，屬于中檔題．