【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）設
，若函數的兩個極值點
恰為函數
的兩個零點，且
的范圍是
，求實數a的取值范圍.
【答案】（1）當
時，單調遞減區間為
，無單調遞增區間；當
時，單調遞減區間為
；單調遞增區間為
；（2）
【解析】
（1）求解導函數，根據導函數的分子（二次函數）分類討論
與
的關系，從而可分析出函數的單調性；
（2）根據已知條件構造關于
的新函數，根據新函數的單調性分析出的取值范圍，然后根據
與的關系即可求解出的取值范圍.
解：（1）
的定義域為，
.
（i）若，則
，當且僅當
，
時，
（ii）若，令得
.
當
時，
；
當
時，
，
所以，當時，單調遞減區間為，無單調遞增區間；
當時，單調遞減區間為；
單調遞增區間為.
（2）由（1）知：且
.
又
，∴
，
由
得
，
∴
.
令
，∴
，
∴
，所以
在
上單調遞減.
由y的取值范圍是
，得t的取值范圍是
，
∵
，∴
，
∴
，
又∵，故實數a的取值范圍是.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C上的點
到點
的距離與它到直線
的距離之比為
，圓O的方程為
，曲線C與x軸的正半軸的交點為A，過原點O且異于坐標軸的直線與曲線C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中
，設直線AB，AC的斜率分別為
；
（1）求曲線C的方程，并證明到點M的距離
；
（2）求
的值；
（3）記直線PQ，BC的斜率分別為
、
，是否存在常數
，使得
？若存在，求的值，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某產品的歷史收益率的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）試估計該產品收益率的中位數；
（2）若該產品的售價
（元）與銷量
（萬份）之間有較強線性相關關系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如表5組
與
的對應數據：
售價 | 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
銷量 | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
根據表中數據算出
關于
的線性回歸方程為
，求
的值；
（3）若從表中五組銷量數據中隨機抽取兩組，記其中銷量超過6萬份的組數為
，求
的分布列及期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動直線
：
與
軸交于點
，過點作直線
，交
軸于點
，點
滿足
，的軌跡為
.
（1）求的方程；
（2）已知點
，點
，過
作斜率為
的直線交于
，
兩點，延長
，
分別交于
，
兩點，記直線
的斜率為
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）求函數
的最小正周期；
（2）將函數的圖象向右平移
個單位長度，再向下平移
（
）個單位長度后得到函數
的圖象，且函數的最大值為2．
（ⅰ）求函數的解析式； （ⅱ）證明：存在無窮多個互不相同的正整數
，使得
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點
到定直線
：
的距離比到定點
的距離大2.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）在
軸正半軸上，是否存在某個確定的點
，過該點的動直線與曲線交于
，
兩點，使得
為定值.如果存在，求出點坐標；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy下，曲線C1的參數方程為
（
為參數），曲線C1在變換T：
的作用下變成曲線C2．
（1）求曲線C2的普通方程；
（2）若m>1，求曲線C2與曲線C3：y=m|x|-m的公共點的個數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的離心率為
，左、右頂點分別為A，B，點M是橢圓C上異于A，B的一點，直線AM與y軸交于點P．
（Ⅰ）若點P在橢圓C的內部，求直線AM的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設橢圓C的右焦點為F，點Q在y軸上，且∠PFQ=90°，求證：AQ∥BM．
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