Question

已知正項數列中，其前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設是數列的前項和，是數列的前項和，求證：.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查等差數列的通項公式、前n項和公式、放縮放、累加法等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉化能力.第一問，法一，利用轉化已知表達式中的，證明數列為等差數列，通過，再求；法二，利用轉化，證明數列為等差數列，直接得到的通項公式；第二問，要證，只需要證中每一項都小于中的每一項，利用放縮法，先得到，，只需證，通過放縮法、累加法證明不等式.
（1）法一：由得
當時，，且，故               1分
當時，，故，得，
∵正項數列，
∴                           4分
∴是首項為，公差為的等差數列.
∴  ，
∴  .                       6分
法二：
當時，，且，故              1分
由得，                 2分
當時，
∴ ，
整理得 
∵正項數列，，
∴ ，                           5分
∴是以為首項，為公差的等差數列，
∴  .                           6分
（2）證明：先證：        7分
.
故只需證，              9分
因為[]²

所以                  12分
所以
當取得到不等式，

相加得：

即：                           14分