Question

已知實數，且按某種順序排列成等差數列．
（1）求實數的值；
（2）若等差數列的首項和公差都為，等比數列的首項和公比都為，數列和的前項和分別為，且，求滿足條件的自然數的最大值．

Answer 1

(1)   (2)14

（1）解法一：由已知三個數有：， 不妨設排列成遞增的等差數列，則
①若依次成等差數列，則有解得，符合題意；
②若依次成等差數列，則有解得，由不符合題意；
綜上得.
解法二：分三種情況討論：
①若為等差中項，則有解得，符合題意；
②若為等差中項，則有解得，由不符合題意；
③若為等差中項，則有，即，方程無解；……6分
綜上得.（2）解：由（1）知，，
 ，
由已知可得，即,
即，又，故的最大值為14．