Question

【題目】已知函數．

（1）當時，

①若曲線與直線相切，求的值；

②若曲線與直線有公共點，求的取值范圍．

（2）當時，不等式對于任意正實數恒成立，當取得最大值時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①1 ，②；（2）1，-1.

【解析】

當時，，所以，

① 設切點為，列出方程組，即可求得，得到答案

②由題意，得方程有正實數根，即方程有正實數根，記，利用導數求得函數的單調性和最小值，即可求解的取值范圍

由題意得，當時，對于任意正實數恒成立，所以當時，對于任意正實數恒成立，由知，，進而得到，

，，……，得到當時，，進而得到對于任意正實數恒成立，再利用二次函數的性質，即可得到結論

（1）解：當時，，所以．

①設切點為，則

由②③得，

由①得代入④得，

所以．

②由題意，得方程有正實數根，

即方程有正實數根，

記，令，

當時，；當時，；

所以在上為減函數，在上為增函數；

所以．

若，則，不合；

若，由①知適合；

若，則，又，

所以，由零點存在性定理知在上必有零點．

綜上，c的取值范圍為．

（2）由題意得，當時，對于任意正實數x恒成立，

所以當時，對于任意正實數x恒成立，

由（1）知，，

兩邊同時乘以x得，①

兩邊同時加上得，②，

所以（*），當且僅當時取等號．

對（*）式重復以上步驟①②可得，，

進而可得，，，……，

所以當，時，，當且僅當時取等號．

所以．

當取最大值1時，對于任意正實數x恒成立，

令上式中得， ，所以，

所以對于任意正實數x恒成立，

即對于任意正實數x恒成立，

所以，所以函數的對稱軸，

所以，即，所以，．

又由，兩邊同乘以x2得，，

所以當，時，也恒成立，

綜上，得，．