Question

已知函數y=f（x）定義在R上，對任意實數x，y，f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，且當x＞0時，有0＜f（x）＜1．
（1）判斷函數f（x）的單調性；
（2）求不等式f（x-1）f（

1

x

）＞1的解集．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：本題（1）利用函數單調性定義，結合條件f（x+y）=f（x）•f（y），將定義中的x₂化成x₁+（x₂-x₁）的形式，判斷并證明函數的單調性；（2）利用已證明的函數單調性；（2）利用抽象函數的條件，求出f（0）=1，將不等式f（x-1）f（

1

x

）＞1轉化為f（x-1）f（

1

x

）＞f（0），再結合條件f（x+y）=f（x）•f（y）和函數單調性，得到x+

1

x

＜1，分類討論，解出本題結論．

解答： 解：（1）在函數f（x）定義域R上任取自變量x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
∵f（x+y）=f（x）•f（y），
∴令x=y=

t

2

，則f（t）=[f（

t

2

）]²≥0．
∴f（x）≥0．
∴f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]．
∵當x＞0時，有0＜f（x）＜1，
∴f（x₂-x₁）＜1．
∴函數f（x）定義域R上單調遞減．
（2）∵f（x+y）=f（x）•f（y），
∴令x=1，y=0，得到：f（1）=f（1）•f（0），
∴f（0）=1．
∵不等式f（x-1）f（

1

x

）＞1，
∴f（x-1+

1

x

）＞f（0），
∴x-1+

1

x

＜0，
∴x+

1

x

＜1．
當x＞0時，x+

1

x

≥2，
當x＜0時，x+

1

x

≤-2，
∴x＜0．
∴不等式f（x-1）f（

1

x

）＞1的解集為：（-∞，0）．

點評：本題考查了函數的單調性定義和應用，本題難度適中，屬于中檔題．