Question

【題目】設.

（1）求的反函數；

（2）討論在上的單調性，并加以證明；

（3）令，當時，在上的值域是，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)令,由求反函數的規則解出.

(2)復合函數,外層函數的單調性要由底數的取值范圍確定,分兩類討論,內層函數的單調性可由定義法證明,再由復合函數的單調性判斷出函數的單調性即可.

(3)分類討論當時，和時兩種情況,由（2）中單調性解出的取值范圍，并起來即可得到符合條件的參數的取值范圍.

(1)令,解得

(2)令，設在上單調遞增.

當時，根據復合函數單調性得到在上是減函數.

當時，根據復合函數單調性得到在上是增函數.

綜上所述：當時，在上是減函數；當時， 在上是增函數.

(3)當時,在上是減函數,

即有得,即,

可知方程的兩個根均大于1,故有

當時,在上是增函數，

(舍去).

綜上所述：.