Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A.[﹣ ， ]
B.（﹣ ， ）
C.（﹣∞，﹣）∪（ ， +∞）
D.（﹣∞，﹣）∩（ ， +∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】函數f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1的導數為f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，
∵函數f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調函數，
∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即﹣3x2+2ax﹣1≤0恒成立，
∴△=4a2﹣12≤0，
解得﹣≤a≤
∴實數a的取值范圍是[-,]
故選：A
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．