Question

【題目】已知長度為的線段的兩個端點分別在軸和軸上運動，動點滿足，設動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點，且斜率不為零的直線與曲線交于兩點，在軸上是否存在定點，使得直線與的斜率之積為常數(shù)？若存在，求出定點的坐標以及此常數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在兩個定點，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，當定點為時，常數(shù)為，當定點為時，常數(shù)為

【解析】

（1）設，，，利用向量關系坐標化，可得曲線的方程；

（2）由題意設直線的方程為，，，假設存在定點，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，將表示成關于的函數(shù)，利用恒成立問題，可得定點坐標.

（1）設，，，

由于，所以，

即，所以.又因為，所以，

從而，即曲線的方程為.

（2）由題意設直線的方程為，，，

由得，所以，

故，.

假設存在定點，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，則

.

當，且時，為常數(shù)，解得.

顯然當時，常數(shù)為；當時，常數(shù)為.

所以存在兩個定點，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，當定點為時，常數(shù)為，當定點為時，常數(shù)為.