Question

【題目】已知A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對的角，向量＝(sin A，sin B)，＝(cos B，cos A)，且＝sin 2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin A，sin C，sin B成等差數列，且，求邊c的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）6

【解析】

（1）由向量數量積的坐標運算及兩角和的正弦公式可得：sin 2C＝sin C，再結合二倍角的正弦公式即可得解；

（2）由正弦定理可得2c＝a＋b，結合題設可得ab＝36，再由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C運算即可得解.

解：（1）由已知得＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，

因為A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以＝sin C，又＝sin 2C，

所以sin 2C＝sin C，即，

，，所以cos C＝，所以C＝.

（2）因為sin A，sin C，sin B成等差數列，

則，

由正弦定理得2c＝a＋b.

因為,即，

所以abcos C＝18，所以ab＝36.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，

所以c2＝4c2－3×36，

所以c2＝36，所以c＝6.