Question

在區間[-2，2]內隨機取兩個數a，b，則使得函數f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有極大值，又有極小值的概率為

 

．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：應用題,概率與統計

分析：先對函數進行求導，根據函數f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有極大值又有極小值，可以得到△＞0，進而得到a²+b²＞4，其面積為4π，區間[-2，2]內隨機取兩個數a，b，其面積為16，即可求得結論．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2，
∴f′（x）=x²+2ax+（4-b²）
∵函數f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有極大值又有極小值
∴△=（2a）²-4×（4-b²）＞0
∴a²+b²＞4，其面積為4π，
區間[-2，2]內隨機取兩個數a，b，其面積為16，
∴所求概率為1-

4π

16

=1-

π

4

．
故答案為：1-

π

4

．

點評：本題給出a、b滿足的關系式，求使得函數f（x）=

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3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有極大值，又有極小值的概率，著重考查了面積計算公式、函數在某點取得極值的條件、一元二次方程根的判別式和幾何概型計算公式等知識，屬于基礎題．