Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值為5，且關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為區(qū)間（0，4）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于任意的x∈R，不等式f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出函數(shù)的解析式，得到方程解出即可，（2）轉(zhuǎn)化為：|2-2cosx-2|＜|1-cosx-m-2|即|2cosx|＜|cosx+m+1|，即可得出m+1＞1且-

m+1

3

＜-1，求解即可．

解答： 解：（1）由題意設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax（x-4），且a＞0，
再根據(jù)在區(qū)間[-1，4]上的最大值為f（-1）=5a=5，求得 a=1，
可得f（x）=x（x-4）=x²-4x．
（2）因?yàn)閒（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=2且其圖象開(kāi)口向上
所以f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m） 等價(jià)于
|2-2cosx-2|＜|1-cosx-m-2|即|2cosx|＜|cosx+m+1|，
-

m+1

3

＜cosx＜m+1，
∴只需：m+1＞1且-

m+1

3

＜-1，求解得出：m＞0，m＞2
即m＞2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，求參數(shù)的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．