Question

已知函數.
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數在上的單調性，并給出證明；
（3）當時，函數的值域是，求實數與的值；

Answer 1

（1）為奇函數。 （2）當時，在上是減函數.當時，在上是增函數. （3），.   

試題分析：（1）由得函數的定義域為， 2分
又
所以為奇函數。                                               4分
（2）由(1)及題設知：，設，
∴當時， ∴.   6分 
當時，，即.
∴當時，在上是減函數.    
同理當時，在上是增函數.               8分
（3）①當時，有. 
由(2)可知：在為增函數，                             9分
由其值域為知 ,無解                 10分
②當時，有.由(2)知：在為減函數,
由其值域為知                            11分
得，.                                             12分
點評：偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相反，而奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相同