Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓：，直線：.為圓內一點，弦過點，過點作的垂線交于點.

（1）若，求的面積；

（2）判斷直線與圓的位置關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線與圓相切，證明見解析.

【解析】

（1）根據直線平行可得直線MN的方程，然后求出弦長和高，可得三角形的面積；

（2）聯立方程求出點的坐標，利用向量數量積證明，進而可得直線與圓的位置關系.

（1）因為，設直線的方程為，

由條件得，，解得，即直線MN的方程為.

因為，，所以，即，

所以.

又因為直線與直線間的距離，即點到直線的距離為3，

所以的面積為.

（2）直線與圓相切，證明如下：

設，則直線的斜率，

因為，所以直線的斜率為，

所以直線的方程為.

聯立方程組解得點的坐標為，

所以，

由于，，

所以

，

所以，即，所以直線與圓相切，得證.