Question

【題目】已知函數f（x）是定義在區間[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若對于任意的m、n∈[﹣1，1]有 ．
（1）判斷并證明函數的單調性；
（2）解不等式 ；
（3）若f（x）≤﹣2at+2對于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）函數f（x）在區間[﹣1，1]上是增函數：

證明：由題意可知，對于任意的m、n∈[﹣1，1]有 ，

可設x1=m，x2=﹣n，則 ，即 ，

當x1＞x2時，f（x1）＞f（x2），

∴函數f（x）在區間[﹣1，1]上是增函數；

當x1＜x2時，f（x1）＜f（x2），

∴函數f（x）在區間[﹣1，1]上是增函數；

綜上：函數f（x）在區間[﹣1，1]上是增函數

（2）由（1）知函數f（x）在區間[﹣1，1]上是增函數，

又由 ，

得 ，解得 ，

∴不等式 的解集為

（3）∵函數f（x）在區間[﹣1，1]上是增函數，且f（1）=1，

要使得對于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，

只需對任意的a∈[﹣1，1]時﹣2at+2≥1，即﹣2at+1≥0恒成立，

令y=﹣2at+1，此時y可以看做a的一次函數，且在a∈[﹣1，1]時y≥0恒成立，

因此只需要 ，解得 ，

∴實數t的取值范圍為：

【解析】（1）設x1=m，x2=﹣n，由已知可得 ，分x1＞x2 ， 及x1＜x2兩種情況可知f（x1）與f（x2）的大小，借助單調性的定義可得結論；（2）利用函數單調性可得去掉不等式中的符號“f”，轉化為具體不等式，再考慮到函數定義域可得不等式組，解出即可；（3）要使得對于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，只需對任意的a∈[﹣1，1]時﹣2at+2≥f（x）max ， 整理后化為關于a的一次函數可得不等式組；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．