Question

已知函數(shù)f（x）=1+2

3

sinxcosx-2

3

sin²x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知a=3，b=

3

，f（A）=1，求角C．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間；
（2）由特殊角的三角函數(shù)值，求出A，再由正弦定理，求得B，再由三角形的內(nèi)角和定理，可得C．

解答： 解：（1）f（x）=1+2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）f（A）=1，即為2sin（2A+

π

6

）=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
由于A為三角形的內(nèi)角，則2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由正弦定理得sinB=

bsinA

a

=

3 × 3 2

3

=

1

2

，
由于a＞b，則A＞B，則B=

π

6

，
則C=π-

π

3

-

π

6

=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查正弦定理及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．