Question

在每條棱長(zhǎng)都相等的底面是菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ABC=

π

3

，側(cè)棱AA₁與對(duì)角線BD₁所成的角為θ，則θ為（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：連結(jié)BD₁，由已知得∠D₁BB₁是側(cè)棱AA₁與對(duì)角線BD₁所成的角θ，由此利用余弦定理能求出θ=

π

3

．

解答： 解：連結(jié)BD₁，
∵在每條棱長(zhǎng)都相等的底面是菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AA₁∥BB₁，
∴∠D₁BB₁是側(cè)棱AA₁與對(duì)角線BD₁所成的角θ，
設(shè)直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，由∠ABC=

π

3

，
得B₁D₁=

1+1-2×1×1×cos120°

=

3

，
∴tanθ=tan∠D₁BB₁=

B1D1

BB1

=

3

，
∴θ=

π

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．