Question

（2012•昌圖縣模擬）已知函數f（x）=x-ax²-lnx（a＞0）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為-2，求a的值以及切線方程；
（2）若f（x）是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導數，再根據導數的幾何意義列式求出a值，最后再根據直線的方程寫出切線的方程即可．
（2）對函數求導，要討論函數的單調性，只要討論a的范圍再判斷f′（x）的符號即得．

解答：解：（1）f′（x）=1-2ax-

1

x

．…（2分）
由題設，f′（1）=-2a=-2，a=1，
此時f（1）=0，切線方程為y=-2（x-1），即2x+y-2=0．…（5分）
（2）f′（x）=-

2ax2-x+1

x

，
令△=1-8a．
當a≥

1

8

時，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）單調遞減．…（10分）
當0＜a＜

1

8

時，△＞0，方程2ax²-x+1=0有兩個不相等的正根x₁，x₂，
不妨設x₁＜x₂，
則當x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時，f′（x）＜0，當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，
這時f（x）不是單調函數．
綜上，a的取值范圍是[

1

8

，+∞）．…（12分）

點評：本題主要考查了利用函數的導數判斷函數的單調性，導數的幾何意義在切線的求解中的應用，屬于中檔試題