Question

【題目】已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求得方程表示的圓的圓心和半徑，設=k，由題意可得直線y=kx與圓C有交點，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值.

(2)設y﹣x=t，由題意可得直線x﹣y+t=0與圓C有交點，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值

（3）由幾何意義知x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知其在原點與圓心的連線與圓的兩個交點處，可得最值.

(1) （1）x2+y2﹣4x+1=0即為（x﹣2）2+y2=3，

表示圓心為C（2，0），半徑為r=的圓，

設=k，由題意可得直線y=kx與圓C有交點，

可得≤，解得﹣≤k≤，

即有最小值為﹣，最大值為.

(2) 設y﹣x=t，由題意可得直線x﹣y+t=0與圓C有交點，

可得≤，解得﹣2﹣≤t≤﹣2+，

即有最小值為﹣2﹣，最大值為﹣2+

(3)x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知其在原點與圓心的連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．又知圓心到原點的距離為2，

故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4．