【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)
時(shí)，方程
有兩個(gè)相異實(shí)根
，且
，證明：
.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.
【解析】分析：（1）由題可得
.分類(lèi)討論可得：
當(dāng)
時(shí)，
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)
時(shí)，在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減.
（2）由（1）可知
，
.構(gòu)造函數(shù)
，則
.令
，由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可知
是減函數(shù)，則
，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得
，故
.
詳解：（1）由題得，
.
當(dāng)時(shí)，由于
，可得
，
即
.
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得
，
由
，得
，
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
（2）由（1）可設(shè)，方程
的兩個(gè)相異實(shí)根
，滿(mǎn)足
，
且，
，
即
.
由題意，可知
，
又由（1）可知，
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減，故.
令，
則.
令，
則
.
當(dāng)
時(shí)，
，是減函數(shù)，
∴
.
∴當(dāng)時(shí)，，
即
.
∵
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，
∴，
故.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則是：雙方齊喊口令，然后同時(shí)出拳，握緊的拳頭代表“石頭”，“食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸開(kāi)代表“布”。“ 石頭”勝“剪刀”， “剪刀”勝“布”， “布”勝“石頭”，若所出拳相同則為和局。現(xiàn)甲乙兩人通過(guò)“剪刀、石頭、布”進(jìn)行比賽。
（1）設(shè)甲乙兩人每局都隨機(jī)出“剪刀”、“石頭”、“布”中的某一個(gè)，求甲勝乙的概率；
（2）最近中國(guó)科學(xué)家在網(wǎng)上發(fā)布了“剪刀、石頭、布”的致勝策略，引起了甲的關(guān)注，據(jù)甲認(rèn)真觀察，乙有以下出拳習(xí)慣：①第一局不出“剪刀”； ②連續(xù)兩局的出拳一定不一樣，即如本局出“剪刀”，則下局出“石頭”、“布”中的一個(gè)。假設(shè)甲的分析是正確的，甲據(jù)此分析出拳，保證每局都不輸給乙，在最多5局的比賽中，誰(shuí)勝的局?jǐn)?shù)多，誰(shuí)獲勝。游戲結(jié)束的條件是：一方勝3局或賽滿(mǎn)5局，用
表示游戲結(jié)束時(shí)的游戲局?jǐn)?shù)，求的分布列和期望。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】定義滿(mǎn)足不等式|x
A|＜B（A∈R，B＞0）的實(shí)數(shù)x的集合叫做A的B鄰域．若a+bt（t為正常數(shù)）的a+b鄰域是一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，則a2+b2的最小值為______．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，直線(xiàn)
平面
，直線(xiàn)平行四邊形
，四棱錐
的頂點(diǎn)
在平面上，
，
，
，
，
分別是
與
的中點(diǎn).
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
為偶函數(shù)，函數(shù)
為奇函數(shù)。
對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.
（1）求函數(shù)與；
（2）設(shè)
，
，若
對(duì)于
恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)
，若方程
沒(méi)有實(shí)數(shù)解，實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某中學(xué)為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)能力，他們以函數(shù)
為基本素材研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，某研究小組6位同學(xué)取得部分研究成果如下：
①同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)
的零點(diǎn)為
；
②同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：函數(shù)是奇函數(shù)；
③同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的
都有
；
④同學(xué)丁發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的
，都有
；
⑤同學(xué)戊發(fā)現(xiàn)：對(duì)于函數(shù)定義域中任意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)
，
，總滿(mǎn)足
；
⑥同學(xué)己發(fā)現(xiàn)：求使
的x的取值范圍是
．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是
， 
是
的中點(diǎn).
（1）求證： 
平面
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求直線(xiàn)
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】下列各組命題中，滿(mǎn)足“‘
’為真、‘
’為假、‘
’為真”的是( )
A. 
在定義域內(nèi)是減函數(shù):
偶函數(shù)；
B. 
,均有
是
成立的充分不必要條件；
C. 
的最小值是6；
：直線(xiàn)
被圓
截得的弦長(zhǎng)為3；
D. 
拋物線(xiàn)
的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
過(guò)橢圓
的左焦點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)是 3．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并予以證明．
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