Question

【題目】如圖，已知四面體中，，且兩兩互相垂直，點(diǎn)是的中心．

（1）求二面角的大小（用反三角函數(shù)表示）；

（2）過作，垂足為，求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；

（3）將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)三垂線定理，取中點(diǎn)，連接和，所以，則即為二面角的平面角，解三角形即可求出二面角的大小；

（2）按照?qǐng)A錐的定義可知，繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，計(jì)算出圓錐底面半徑以及圓錐的高，即可求出體積；

（3）取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，求出和，利用向量的夾角公式可求出，最后根據(jù)平面幾何知識(shí)即可求出的取值范圍．

（1）取中點(diǎn)，連接和，因?yàn)辄c(diǎn)在平面的射影在中線上，

所以，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角．在中，，，

所以，即，

所以二面角的大小為．

（2）過作，經(jīng)計(jì)算得，

由此得，

所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積：

．

（3）取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)，則，，

所以，

在平面上，點(diǎn)的軌跡方程為，

令，則，

所以，

于是．