Question

【題目】設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，開(kāi)口向上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知拋物線C過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】(1) x2＝y.

(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)設(shè)出拋物線的方程，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為可得，結(jié)合焦點(diǎn)在上，即可求得拋物線方程；(2)將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得為定值.

(1)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為知p＝，2p＝，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y.

(2)設(shè)直線l的方程為：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由

得：x2－kx－＝0，∴x1x2＝－

∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋4(x1x2)2＝－為定值