Question

【題目】如圖，曲線是以原點O為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以O為頂點、為焦點的拋物線的一部分，A是曲線和的交點且為鈍角，若，.

（1）求曲線和的方程；

（2）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為，拋物線方程為； （2）見解析。

【解析】

（1）因為在橢圓中2a＝|AF1|+|AF2|6，所以可求曲線C1方程．因為曲線C2是以O為頂點、F2為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點．|AF1|，|AF2|，所以利用拋物線定義，可求曲線C2方程；

（2）先設出B、C、D、E四點坐標，過F2作的與x軸不垂直的直線方程，在分別與橢圓方程，拋物線方程聯立，利用根與系數關系，求的值，看結果是否為定值．

（1）設橢圓方程為，則，得

設，，則，，

兩式相減得，由拋物線定義可知，

則，或，（舍去）

所以橢圓方程為，拋物線方程為。

另解：過作垂直于x軸的直線，即拋物線的準線，作AH垂直于該準線，

作軸于，則由拋物線的定義得，

所以

，

，得，所以c＝1，

，

所以橢圓方程為，拋物線方程為。

（2）設，，，，

直線，代入得，，即，

則，

同理，將代入得：，

則，，

所以

為定值.