Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當時，求曲線在點處的切線的斜率；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)當函數(shù)有極值時，若對， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析（3）

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1）的值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為, 設h（x）=x-1-lnx，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

試題解析：

(1)當時， ，∴.

(2) ，

令，

①當時， ， ，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

②當時， ，令，則，

在和上， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

在上， 函數(shù)單調(diào)遞減.

(3)由(1)可知，當時，函數(shù)在上有極值.

可化為，

∵，∴，

設，則，

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞減，當時， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴當， ，∴，

所以.

又∵，∴，即的取值范圍是.