Question

【題目】如圖，MN分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BCCD的中點，將正方形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內，則在翻折過程中，有以下結論:

①異面直線AC與BD所成的角為定值.

②存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.

③存在某個位置，使得直線MN與平面ABC所成的角為45°.

④三棱錐M-ACN體積的最大值為.

以上所有正確結論的序號是__________.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

設中點，連接，，得到平面，從而可證①正確；假設，從而得到平面，與已知矛盾，從而證明②錯誤，根據，得到與平面所成的角等于與平面所成的角，即，根據的范圍，從而證明③正確；，從而得到體積最大的情況，求出最大值，可得④正確.

設中點，連接，，

正方形，，，

所以，，

平面，，

所以平面，

而平面，所以，

即異面直線與所成的角為定值.

故①正確.

若，而，平面，

所以平面，

而平面，所以，

而中，，

所以不可能為直角，故假設錯誤，

所以②錯誤.

因為分別是的中點，所以，

所以與平面所成的角等于與平面所成的角，

在平面的射影在上，

所以是與平面所成的角，

而，所以一定存在某個位置滿足，

即存在某個位置，使得直線MN與平面所成的角為45°.

故③正確；

，底面，

所以當平面平面時，到平面的距離最大，

此時三棱錐的體積最大，

，

所以此時，

故④正確.

故答案為：①③④