Question

已知函數f(x)＝x³(a>0且a≠1)．
(1)求函數f(x)的定義域；
(2)討論函數f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范圍，使f(x)>0在定義域上恒成立．

Answer 1

（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函數（3）a>1.

(1)由于a^x－1≠0，則a^x≠1，所以x≠0，
所以函數f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}．
(2)對于定義域內任意的x，有
f(－x)＝(－x)³＝－x³＝－x³＝x³＝f(x)所以f(x)是偶函數．
(3)①當a>1時，對x>0，
所以a^x>1，即a^x－1>0，所以＋>0.
又x>0時，x³>0，所以x³>0，
即當x>0時，f(x)>0.
由(2)知，f(x)是偶函數，即f(－x)＝f(x)，
則當x<0時，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．
綜上可知，當a>1時，f(x)>0在定義域上恒成立．
②當0<a<1時，f(x)＝，
當x>0時，0<a^x<1，此時f(x)<0，不滿足題意；
當x<0時，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不滿足題意．
綜上可知，所求a的取值范圍是a>1