Question

我國東部某風景區內住房著一個少數民族部落，該部落擬投資1500萬元用于修復和加強民俗文化基礎設施，據測算，修復好部落民俗文化基礎設施后，任何一個月（每月按30天計算）中第n天的游客人數a，近似滿足a_n=10+

10

n

（單位：千人），第n天游客人均消費金額b，近似滿足b_n=162-|n-18|（單位：元）
（Ⅰ）求該部落第n天的日旅游收入c_n（單位：千元，1≤n≤30，n∈N^*）的表達式；
（Ⅱ）若以一個月中最低日旅游收入金額的1%作為每一天應回收的投資成本，試問該部落至少經過幾年就可以收回全部投資成本．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用,分段函數的應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據旅游收入p（x）等于每天的旅游人數a_n與游客人均消費b_n的乘積，然后去絕對值，從而得到所求；
（Ⅱ）分別研究每一段函數的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函數的單調性研究最小值，再比較從而得到日最低收入，最后根據題意可判斷該村在兩年內能否收回全部投資成本．

解答： 解：（Ⅰ）當1≤n≤18時，c_n=（10+

10

n

）（144+n）=1450+

1440

n

+10n   …（2分）
當19≤n≤30時，c_n=（10+

10

n

）（180-n）=1790+

1800

n

-10n     …（4分）
綜上，c_n=

1450+ 1440 n +10n，1≤n≤18 1790+ 1800 n -10n，19≤n≤30

                      …（6分）
（Ⅱ）當1≤n≤18時，c_n=1450+

1440

n

+10n≥1450+2

1440 n •10n

=1690（當且僅當n=12時取等號）                                                     …（8分）
當19≤n≤30時，c_n=1790+

1800

n

-10n
∵y=

1800

n

-10n在[19，30]上為減函數，
∴c_n≤1790+

1800

30

-10×30=1550                               …（10分）
于是（c_n）min=1550（千元），即日最低收入為1550千元．
該村一年可收回的投資資金為1550×1%×30×12=5580（千元）=558（萬元），
兩年可收回的投資資金為558×2=1116（萬元），
三年可收回的投資資金為558×3=1674（萬元）．
∴至少經過3年可以收回全部投資成本．…（13分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．屬于中檔題．