Question

設數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足關系式．3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（其中t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求證：數列{a_n}是等比數列．．（2）設數列{a_n}的公比為f（t），作數列{b_n}，使b₁=1，b_n=f(

1

bn-1

)（n=2，3，4…）求數列{b_n}的通項公式．（3）求和S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄ -…+（-1）^n-1b_nb_n+1．

Answer 1

分析：（1）由已知3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，可得3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t，兩式相減可得數列a_n與a_n-1的遞推關系，從而可證．
（2）由（1）可得f（t），代入整理可得bn-bn-1=

2

3

，利用等差數列的通項公式可求．
（3）考慮到bk-bk+2=-

4

3

，從而可以把所求式兩項結合，而結合的組數則根據n的值而定，從而需對n分為奇數和偶數兩種情討論．

解答：解：（1）∵3ts_n-（2t+3）s_n-1=3t∴3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t（n＞2）
兩式相減可得3t（s_n-s_n-1）-（2t+3）（s_n-1-s_n-2）=0
整理可得3ta_n=（2t+3）a_n-1（n≥3）
∴

an

an-1

=

2t+3

3t

∵a₁=1∴a2=

2t+3

3t

即

a2

a1

=

2t+3

3t

數列{a_n}是以1為首項，以

2t+3

3t

為公比的等比數列
（2）由（1）可得f（t）=

2t+3

3t

在數列{b_n}中，bn=f(

1

bn-1

)=

2 1 bn-1 + 3

3  1 bn-1

=

3bn-1+2

3

=bn-1+

2

3

∴bn-bn-1=

2

3

數列{b_n}以1為首項，以

2

3

為公差的等差數列
∴bn=1+(n-1)×

2

3

=

2n

3

+

1

3

（3）當n為偶數時S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+（-1）^n-1b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-

4

3

( b2+ b4+…+bn)
=-

1

9

(2n2+6n)
 當n為奇數時S_n=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）+b_nb_n+1
=-

4

3

(b2+b4+…+ bn-1) +bnbn+1
=-

4

3

×

(n+2)(n-1)

6

+

2n+1

3

×

2n+3

3

=

2n2+6n+7

9

點評：本題主要考查了利用遞推關系實現數列和與項的相互轉化，進而求通項公式，等差數列的通項公式的運用，數列的求和，在解題中體現了分類討論的思想．