Question

【題目】以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數）.

（1）求曲線的參數方程與直線的普通方程；

（2）設點過為曲線上的動點，點和點為直線上的點，且滿足為等邊三角形，求邊長的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）：（為參數，），：；（2）

【解析】

（1）利用公式即可容易化簡曲線的方程為直角坐標方程，再寫出其參數方程即可；利用消參即可容易求得直線的普通方程；

（2）設出的坐標的參數形式，將問題轉化為求點到直線距離的范圍問題，利用三角函數的值域求解即可容易求得結果.

（1）曲線的極坐標方程為，

故可得，則，

整理得，也即，

由，則可得，

故其參數方程為（為參數，）；

又直線的參數方程為，

故可得其普通方程為.

（2）不妨設點的坐標為，

則點到直線的距離

，，

容易知在區間的值域為，

故可得.

則三角形的邊長為，故其范圍為.