Question

【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即“文房四寶”．筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時期，其中的“紙”指的是宣紙，宣紙“始于唐代，產于涇縣”，而唐代涇縣隸屬于宣州府管轄，故因地而得名“宣紙”，宣紙按質量等級，可分為正牌和副牌（優等品和合格品），某公司年產宣紙10000刀，公司按照某種質量標準值x給宣紙確定質量等級，如表所示：

x	（48，52]	（44，48]∪（52，56]	（0，44]∪（56，100]
質量等級	正牌	副牌	廢品

公司在所生產的宣紙中隨機抽取了一刀（100張）進行檢驗，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知每張正牌紙的利潤是10元，副牌紙的利潤是5元，廢品虧損10元．

（Ⅰ）按正牌、副牌、廢品進行分層抽樣，從這一刀（100張）紙中抽出一個容量為5的樣本，再從這個樣本中隨機抽出兩張，求其中無廢品的概率；

（Ⅱ）試估計該公司生產宣紙的年利潤（單位：萬元）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）400萬元

【解析】

（I）利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.

（II）根據頻率分布直方圖求得一刀宣紙的利潤，由此估計出年利潤.

（Ⅰ）按正牌、副牌、廢品進行分層抽樣，從這一刀（100張）約中抽出一個容量為5的樣本，

設抽出的2張正牌為A，B，2張副牌為a，b，1張廢品為t，從中任取兩張，基本事件有：

AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10種，

其中無廢品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6種，∴其中無廢品的概率p．

（Ⅱ）由頻率分布直方圖得：一刀（100張）宣紙有正牌宣紙100×0.1×4＝40張，

有副牌宣紙100×0.05×4×2＝40張，有廢品100×0.025×4×2＝20張，

∴該公司一刀宣紙的利潤為40×10+40×5+20×（﹣10）＝400元，

∴估計該公司生產宣紙的年利潤為：400萬元．