Question

【題目】某市在對學(xué)生的綜合素質(zhì)評價中，將其測評結(jié)果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個等級，其中不小于80分為“優(yōu)秀”，小于60分為“不合格”，其它為“合格”．
（1）某校高二年級有男生500人，女生400人，為了解性別對該綜合素質(zhì)評價結(jié)果的影響，采用分層抽樣的方法從高二學(xué)生中抽取了90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評價結(jié)果，其各個等級的頻數(shù)統(tǒng)計如表：

等級	優(yōu)秀	合格	不合格
男生（人）	30	x	8
女生（人）	30	6	y

根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

	男生	女生	總計
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計

臨界值表：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）以（1）中抽取的90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評價等級的頻率作為全市各個評價等級發(fā)生的概率，且每名學(xué)生是否“優(yōu)秀”相互獨立，現(xiàn)從該市高二學(xué)生中隨機抽取4人．
（i）求所選4人中恰有3人綜合素質(zhì)評價為“優(yōu)秀”的概率；
（ii）記X表示這4人中綜合素質(zhì)評價等級為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．
附：參考數(shù)據(jù)與公式
參考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)從高二年級男生中抽出m人，則 ，

解得m=50．

∴x=50﹣38=12，y=40﹣36=4．

∴2×2列聯(lián)表為：

	男生	女生	總計
優(yōu)秀	30	30	60
非優(yōu)秀	20	10	30
總計	50	40	90

∴K2= =2.25＜2.706，

∴沒有90%的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”．

（2）解：（i）由（1）知等級為“優(yōu)秀”的學(xué)生的頻率為 ，

∴從該市高二學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生，該生為“優(yōu)秀”的概率為 ．

記“所選4名學(xué)生中恰有3人綜合素質(zhì)評價為‘優(yōu)秀’學(xué)生”為事件A，

則事件A發(fā)生的概率為：P（A）= = ．

（ii）X表示這4個人中綜合速度評價等級為“優(yōu)秀”的個數(shù)，

由題意，隨機變量X～B（4， ），

∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）=4× =

【解析】（1）先求出從高一年級男生中抽出人數(shù)及x，y，作出2×2列聯(lián)表，求出K2=1.125＜2.706，從而得到?jīng)]有90%的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”．（2）（i）由（1）知等級為“優(yōu)秀”的學(xué)生的頻率為 ，從該市高二學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生，該生為“優(yōu)秀”的概率為 ．由此能求出所選4名學(xué)生中恰有3人綜合素質(zhì)評價為‘優(yōu)秀’學(xué)生的概率．（ii）X表示這4個人中綜合速度評價等級為“優(yōu)秀”的個數(shù)，由題意，隨機變量X～B（4， ），由此能求出X的數(shù)學(xué)期望．