Question

【題目】在三棱錐S﹣ABC中，△ABC是邊長為2 的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點．

（1）證明：AC⊥SB；
（2）求三棱錐B﹣CMN的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC中點D，連接SD，DB．

因為SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，

因為SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．

又SB平面SDB，所以AC⊥SB

（2）解：因為AC⊥平面SDB，AC平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．

過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，

因為平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．

又因為NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．

由于SN=NB，所以NE= SD=

所以S△CMB= CMBM=

所以VB﹣CMN=VN﹣CMB= S△CMBNE= =

【解析】（1）取AC 中點D，連接SD，DB，證明AC⊥平面SDB，由線面垂直的性質可得AC⊥SB；（2）由VB﹣CMN=VN﹣CMB ， 即可求得三棱錐B﹣CMN的體積．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．