Question

(本小題滿分13分)
設函數y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上單調遞增，若對任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，數列{a_n}滿足：a₁＝f(1)＋1，f(－)＋f(＋)＝0.設S_n＝aa＋aa＋aa＋…＋aa＋aa.
(1)求數列{a_n}的通項公式，并求S_n關于n的表達式；
(2)設函數g(x)對任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正項數列{b_n}滿足：b＝g()，T_n為數列{b_n}的前n項和，試比較4S_n與T_n的大小.

Answer 1

（1）a_n＝ . S_n＝[1－].
（2）4S_n<T_n.

解：(1)當x，y∈(0，＋∞)時，有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1得f(1)＝2f(1)，得f(1)＝0，所以a₁＝f(1)＋1＝1.(1分)
因為f(－)＋f(＋)＝0，所以f(－)＝0＝f(1).
又因為y＝f(x)在(0，＋∞)上是單調增函數，所以－＝1，即－＝4，(3分)
所以數列{}是以1為首項，4為公差的等差數列，所以＝4n－3，所以a_n＝ .
∵aa＝＝[－]，
∴S_n＝[－＋－＋…＋－]＝[1－].(5分)
(2)由于任意x，y∈R都有g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，則g(2x)＝2g(x)＋2x²，
∴g(1)＝2g()＋2·()²＝2[2g()＋2·()²]＋＝2²g()＋＋
＝2²[2g()＋2·()²]＋＋＝2³g()＋＋＋
＝…＝2ⁿg()＋＋＋＋…＋＋＝1，
∴g()＝，即b＝.
又b_n>0，∴b_n＝，(9分)
∴T_n＝＋＋…＋＝1－，又4S_n＝1－.
當n＝1,2,3,4時，4n＋1>2ⁿ，∴4S_n>T_n；(10分)
當n≥5時，2ⁿ＝C＋C＋C＋…＋C＋C>1＋2n＋2＝1＋n²＋n.
而n²＋n＋1－(4n＋1)＝n²－3n＝n(n－3)>0，故4S_n<T_n.(13分)
(用數學歸納法證明參照計分)