Question

【題目】已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且．

（1）求函數(shù)，的解析式；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（3）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）4；（3）或

【解析】

（1）用替換再利用奇偶性得到，與已知條件聯(lián)立即可得到函數(shù)，的解析式；

（2）將代入，換元思想，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)最小值，即可得實(shí)數(shù)的最大值；

（3）根據(jù)題意，換元后轉(zhuǎn)化為方程有且只有一個(gè)正根，再對(duì)討論即可得出的取值范圍．

解：（1），用代替得，

則，

解方程得：，.

（2）對(duì)任意恒成立，

令，，因?yàn)榱?/span>在單調(diào)遞增，故

則對(duì)恒成立

當(dāng)時(shí)， 故，即

（3）由題：方程有且只有一個(gè)根

即有且只有一個(gè)根，

令，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且

故方程（*式）有且只有一個(gè)正根

①當(dāng)時(shí)，方程有唯一根，合題

②當(dāng)時(shí)，方程變形為，解得兩根為，

因?yàn)椋?/span>*式）有且只有一個(gè)正根，故或，解得或

綜上：的取值范圍為或