Question

已知點A、B、C在球心為O的球面上，△ABC的內角A、B、C所對邊長為a，b，c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，球心O到截面ABC的距離為

3

，則該球的表面積為

16π

．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式a²=b²+c²+bc變形后代入，求出cosA的值，再由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，進而得到sinA的值，再由a，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑，再由球心到截面ABC的距離d，利用勾股定理求出球的半徑R，利用球的表面積公式S=4πR²即可求出該球的表面積．

解答：解：∵a²=b²+c²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，又A為三角形的內角，
∴A=

2π

3

，
∴sinA=

3

2

，
由正弦定理得：2r=

a

sinA

=2，（r為△ABC的外接圓半徑），
即r=1，
又球心O到截面ABC的距離d=

3

，
∴球的半徑為R=

r2+d2

=2，
則該球的表面積S=4•π•R²=16π．
故答案為：16π

點評：此題考查了正弦、余弦定理，點、線、面之間距離的計算，以及特殊角的三角函數值，鍛煉了學生的空間想象能力，其中正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．