Question

【題目】四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且，側面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，點G為AD的中點.

（1）求證：BG面PAD；

（2）E是BC的中點，在PC上求一點F，使得PG面DEF.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）F為PC中點時滿足題意，具體見解析

【解析】

（1）連結BD，證明BGAD，因為面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，即可證明BG垂直于面PAD；

（2）點E是 BC的中點，點F為PC的中點，連接GC交DE于點H，證明PGFH ，因為面DEF，面DEF，即可證明PG面DEF.

證明：（1）連結BD，因為四邊形ABCD為菱形，且，

所以三角形ABD為正三角形，又因為點G為AD的中點，所以BGAD；

因為面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，

平面，

所以BG面PAD.

（2）當點F為PC的中點時，PG面DEF，

連結GC交DE于點H，

因為E、G分別為菱形ABCD的邊BC、AD的中點，所以四邊形DGEC為平行四邊形，

所以點H為DE的中點，又點F為PC的中點，

所以FH是三角形PGC的中位線，所以PGFH ，

因為面DEF，面DEF，

所以PG面DEF.

綜上：當點F為PC的中點時，PG面DEF.