Question

【題目】已知函數，的導函數為.

（1）當時，證明：函數在上單調遞增；

（2）若，討論函數零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）答案不唯一，具體見解析

【解析】

（1）求出導函數，然后令，再求出導函數，由的正負確定的單調性，得的最小值．從而得，即，確定出的單調性；

（2）解方程，變形為，，最終轉化為，這樣利用導數研究函數的性質，得，分離參數得，此方程解的個數即為函數零點的個數，再由導數研究函數的性質后可得．

（1）證明：當時，，∴，

令，則，

當時，單調遞減；當時，單調遞增.

∴，∴當時，

∴在上單調遞增.

（2）解：，

令，則，

∴，∴，∴，

令，則，

∵當時，∴當時為增函數，

∴，∴，

令，則，

當時，遞減，當時，遞增，∴，

∴當時無解，即無零點；

當時有1個解，即有1個零點；

當時有2個解，即有2個零點.