Question

已知函數f（x）=log₂|cosx|．
（1）求其定義域和值域；
（2）判斷奇偶性；
（3）判斷周期性，若是，求出其最小正周期；
（4）寫出單調遞減區間．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）對于f（x）=log₂|cosx|，令t=|cosx|＞0，則y=log₂t，即可求解定義域，值域．（2）f（-x）=f（x）=）log₂|cosx|．
定義域關于原點對稱，判斷奇偶性．（3）根據f（x+π）=log₂|cos（x+π）|=log₂|cosx|=f（x），得出周期性．
（4）由復合函數的單調性分析可得，只需求出t=|cosx|的增區間即可，由絕對值的意義結合正弦函數的單調性，即可得答案．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=log₂|cosx|．
∴|cosx|＞0，x≠kπ+

π

2

，k∈Z，
對于f（x）=log₂|cosx|，
令t=|cosx|＞0，則y=log₂t，0＜t≤1，
∴y≤0，
∴定義域為{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}，值域為（-∞，0]；
（2）f（-x）=f（x）=）log₂|cosx|．
定義域關于原點對稱，
∴f（x）=log₂|cosx|．為偶函數，
（3）∵f（x+π）=log₂|cos（x+π）|=log₂|cosx|=f（x），
∴f（x）是周期函數，最小正周期π
（4）分析單調性可得，y=log₂t，0＜t≤1為增函數，
欲求f（x）=log₂|cosx|的單調遞減區間，
只需求出t=|cosx|的減區間即可，
∵t=|cosx|的減區間為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．
∴函數的單調遞增區間是[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．
故答案為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．

點評：本題考查復合函數的單調性的判斷，注意其單調性的特殊判斷方法，先拆分，再分析，分析方法為同增異減．