Question

【題目】已知定義在上的偶函數和奇函數，且.

（1）求函數，的解析式；

（2）設函數，記 .探究是否存在正整數，使得對任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有滿足條件的正整數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)已知，結合函數的奇偶性可得，解方程組即可得函數解析式；（2）由函數奇偶性的性質可知為奇函數，圖象關于對稱，則的圖象關于點中心對稱，利用對稱性可得，然后利用恒成立問題解即可.

（1），

函數為偶函數，為奇函數，

，

，.

（2）易知為奇函數，其函數圖象關于中心對稱，

函數的圖象關于點中心對稱，

即對任意的，成立.

，

.

兩式相加，得

.

即.

.

，即.

.

，

恒成立.

令，.

則在上單調遞增.

在上單調遞增.

.

又已知，.