Question

【題目】已知在圖1所示的梯形中，，于點，且.將梯形沿對折，使平面平面，如圖2所示，連接，取的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，試確定點的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由；

（3）設，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在，且當點為的中點時，平面；（3）.

【解析】

（1）取的中點，根據等腰三角形性質得.再根據面面垂直性質定理得平面，即得，利用線面垂直判定定理得平面.由平幾知識得四邊形是平行四邊形.即.從而可得平面.最后根據面面垂直判定定理得結論.（2）先判斷點位置，再利用線面平行判定定理證明，(3)先根據面面垂直性質定理得線面垂直，即得錐體的高，再根據等積法以及錐體體積公式求結果.

解：（1）取的中點，連接，.

因為，所以.

因為平面平面，，平面平面，

所以平面，

又平面，

所以.

又，所以平面.①

因為，，

所以，.

因為，，所以，所以四邊形是平行四邊形.

所以.②

由①②，得平面.

又平面，所以平面平面.

（2）當點為的中點時，平面.

證明：連接，.

由為線段的中點，為線段的中點，

得.

又平面，平面.

所以平面.

（3）因為，所以到平面的距離等于點到平面的距離.

取的中點，連接，

則，且.

因為平面平面，，平面平面，

所以平面，所以平面.

所以 .