【題目】已知函數
．
(Ⅰ)討論函數
的單調性；
(Ⅱ)證明：
(
為自然對數的底)恒成立．
【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函數的導數，通過討論
的范圍，求出函數的單調區間即可；
(Ⅱ)取
，有
，即
，求出
(當且僅當
時等號成立)，問題轉化為證明
在
上恒成立即可，設
，根據函數的單調性證明即可．
(Ⅰ)解：函數
的定義域為，
當
時，
恒成立，所以在內單調遞增；
當
時，令
，得
，所以當
時，單調遞增；
當
時
，單調遞減，
綜上所述，當時，在內單調遞增；
當時，在
內單調遞增，在
內單調遞減
(Ⅱ)證明：由(1)可知，當時，
特別地，取，有，即，
所以(當且僅當時等號成立)，因此，要證
恒成立，
只要證明在上恒成立即可
設，則
，
當
時
，
單調遞減，
當
時
，單調遞增．
故當
時，
，即在上恒成立
因此，有
，又因為兩個等號不能同時成立，
所以有恒成立
或：令
，則
，
再令
，則
，
由
知，存在
，
使得
，得
，
由可證
，進而得證．
口算心算速算應用題系列答案
同步拓展閱讀系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形
中，
，
，
，
，
，
分別在
，
上，
，現將四邊形沿
折起，使平面
平面
.
（Ⅰ）若
，在折疊后的線段上是否存在一點
，且
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市的街道是相互垂直或平行的，如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐標系，對兩點
和
，用以下方式定義兩點間距離：
.如圖，學校在點
處，商店在點
,小明家在點
處，某日放學后，小明沿道路
從學校勻速步行到商店，已知小明的速度是每分鐘1個單位長度，設步行
分鐘時，小明與家的距離為
個單位長度.
（1）求關于
的解析式;
（2）做出
中函數的圖象，并求小明離家的距離不大于7個單位長度的總時長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雞的產蛋量與雞舍的溫度有關，為了確定下一個時段雞舍的控制溫度，某企業需要了解雞舍的溫度
（單位：℃），對某種雞的時段產蛋量
（單位： 
）和時段投入成本
（單位：萬元）的影響，為此，該企業收集了7個雞舍的時段控制溫度
和產蛋量
的數據，對數據初步處理后得到了如圖所示的散點圖和表中的統計量的值．
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17.40 | 82.30 | 3.6 | 140 | 9.7 | 2935.1 | 35.0 |
其中
.
（1）根據散點圖判斷， 
與
哪一個更適宜作為該種雞的時段產蛋量
關于雞舍時段控制溫度
的回歸方程類型？（給判斷即可，不必說明理由）
（2）若用
作為回歸方程模型，根據表中數據，建立
關于
的回歸方程；
（3）已知時段投入成本
與
的關系為
，當時段控制溫度為28℃時，雞的時段產蛋量及時段投入成本的預報值分別是多少？
附：①對于一組具有有線性相關關系的數據
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
②
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0.08 | 0.47 | 2.72 | 20.09 | 1096.63 |
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