Question

【題目】設函數f（x）定義域為R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），當x∈[0，1]時，f（x）=x3 ， 則函數g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區間[﹣ ， ]上的所有零點的和為 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）關于x=1對稱， ∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）關于x=0對稱，
∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2為周期的函數，
∴f（x）在[﹣ ]上共有3條對稱軸，分別為x=0，x=1，x=2，
又y=|cos（πx）關于x=0，x=1，x=2對稱，
∴x=0，x=1，x=2為g（x）的對稱軸．
作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函數圖象如圖所示：

由圖象可知g（x）在（0， ）和（ ，1）上各有1個零點，且x=1為g（x）的一個零點．
∴g（x）在[﹣ ]上共有7個零點，
設這6個零點從小到大依次為x1 ， x2 ， x3 ， …，x7 ，
則x1 ， x2關于x=0對稱，x3 ， x5關于x=1對稱，x6 ， x7關于x=2對稱，x4=1．
∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．
所以答案是：7．